数学新干线-第5章
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因此，其一半的角ABE、EBA'就是15度。
（图略）
5、折成最大的正三角形 30分
问题
根据前问的解题方法虽然把三角形A'BC折成了正三角形。但遗憾的是并不能说这个
正三角形就是在正方形的折纸上能折出的最大的正三角形。
让我们用折纸试一试，折成一个最大的正三角形吧。
（图略）
提示
请参考前问的＇折成15度＇。
解题 折成最大的正三角形
接着前问，这回如下图所示再把角C对折在折成两等份的PQ折线上，把三角形CBF
折过去。
当然，角CBF（=角FBC'）也是15度。
所以，角EBF也就等于60度（90度…15度…15度）。
最后再把这样折出来的EF对折，就折出了三角形EBF。成为在正方形的折纸上面折出的
最大的正三角形。（角EBF=60度、而且EB=BF）。
（图略）
6、折成正六角形 15分
问题
请用折纸折成正六角形。
（图略）
提示
请参考前问的＇折成最大的正三角形＇
解题 折成正六角形
利用前问的＇折成最大的正三角形＇里出现的正三角形。如下图所示，只要把正三角形
的三个顶点折向正三角形的中心点O，就会折成正六角形。
（图略）
（图注解）把三个顶点折向中心点O
小知识
从正三角形直接到正六角形不管怎么说都太快了。因此，让我们来试一下折成正五角形
吧。
用折纸那样的正方形的纸折成正五角形虽然不太容易，如果使用长一点的长方形那样的
折纸就可以简单的折成。
一边看着图一边用装一次性筷子的纸袋折着试一试。在哪里见过的吧？对了！就是和在
神社院内的树枝上系着的签纸的系法是同样的。
（图略）
7、折成最大的正八角形 30分
问题
请用折纸折成一个最大的正八角形。
（图略）
提示
虽然把折纸的四个角对折过来就可以，但是，问题是怎样折呢？
（图略）
解题 折成最大的正八角形
1、把折纸沿着两根对角线对折成四折。
2、以点A为轴，把AO边折向AB边。把点O在AB边上接触的点为E，然后折出EF连线。
3、把折纸打开，返回到1、的形状，这一次是以B点为轴，把BO边折向AB边。把点O在AB边上接触的点为G。然后再折出GH连线。
4、把折纸打开如下图所示，由于有折过的印，按照折印把四个角对折过来话，就成了正
八角形。
（图略）
要想证明折出来的是否是正八角形，只要能证明GE的边长和GE'的边长相等就可以吧。
如果假设折纸的一边AB的长为2的话，AO的长就是（算式省略）。而且AE、BG的长也是
（算式省略）。
那就是说 AG、EB的长是 2…（算式省略）
因此，GE的长是（算式省略）
另一方面GE'的长根据勾股定理，（算式省略）
所以可以说，GE和GE'的长是相等的。
小知识
从正六角形到正八角形，又直接跳过去了。不管怎么着正七角形就无法折了吗？藤村幸
三郞、田村三郞编著的＇数学历史问题集＇（讲谈社）里记载着下面那样的方法。是用比筷子纸
袋更长的纸带折成的。
（图略）
提高能力
纸的规格A版。B版
在纸的规格里面有A版和B版，不管哪一种竖横之比都是（算式省略）。真的是这样的比例吗？
让我们考虑一下确认的方法。
如下图所示，从1开始按顺序去折，最后折到4图，如果用2得出的（算式省略）和竖边
相吻合的话，就可以确认横1：竖（算式省略）的比例成立。
（图略）
第二部分第4节
6、三角形的篇章
＇三角形章节＇的功能
尼罗河年年泛滥，却给埃及带来了适宜农作物生长的肥沃的土地和三角形。
和三角形有什么关系呢？
这是因为每次治好河水泛滥后，就要重新开始土地的测量及划分。那时为了测量直角，使用分出12等份的绳子，各边的比例为3：4：5，然后用三个人拉住绳子，做成直角三角形。
要说三角形的智力题我感觉和做几何差不多。然而在几何和三角形的智力题里，即使使用同样的图形、同样的立体，但是所采用的方法在根本上是有差异的。
几何是用对图形的感觉和思考力来解的，但智力题是凭着对图形的感觉（这一点相同）、直觉能力和想象力来解的。用灵活的想象力和瞬间的一个灵感，就找到了意想不到的解决问题的方法。这真是培养这些能力的难得的好教材。
1、有多少个平行四边形？ 15分
问题
在下图当中含有多少个平行四边形？
（图略）
提示
经常有计算漏下和重复的。请注意平行四边形的大小和方向。
解题 有多少个平行四边形？
根据平行四边形的大小和方向调整。假设最小的平行四边形的面积为1，
1、面积为1的
如右图，有三种样式。由于各自有6个，所以 3×6=18
2、面积为2的
共有六种样式。由于各自有3个，所以 6×3=18
3、面积为3的
共有六种样式。由于各自有1个，所以 6×1=6
4、面积为4的
共有三种样式。由于各自有1个，所以 1×3=3
以上合计18＋18＋6＋3=45
答案
45个平行四边形。
2、折过来的角 15分
问题
把正三角形的纸如图那样折回来时，角？的度数是多少度？
提示
折过来的部分的三角形和折回来部分的三角形是全等的。这是当然的啦。
解题 折过来的角
三角形GEH、三角形HBF各角的度数如图所示。由于三角形CDF和三角形DEF是全等三角形。所以角DFC的度数是角EFC的一半。因为角EFC等于 180度…28度=152度，所以，角DFC的
度数为76度。
答案
76度。
小知识
三角形的内角之和是180度。
那么我们想想看，普通n角形的内角之和是多少度呢？由于无论是什么样的四边形都可
以分成两个三角形。所以，四边形的内角和是 180度×2=360度。五角形可以分3个、六角形
分4个三角形。由于普通的n角形可以分成（n…2）个三角形，所以n角形的内角之和等于
180度x（n…2）（但是n大于等于3）
（图略）
3、三角关系 30分
问题
如图所示，在并排三个正方形内画三个三角形。这时，在角p、角q、角r之间会成为什么
样的关系？
（图略）
提示
很明显，角r=45度。
解题 三角关系
如图所示（图略），和EH对称排列三个正方形，画三个三角形。
角IBE是直角（90度…角q＋角q），并且IB边和BE边长度相同，所以三角形IBE是等边直角三
角形。
因此 角p＋角q=45度
另外 因为角r=45度
所以 角p＋角q=角r
答案
角p＋角q=角r
小知识
阿拉伯的数字家萨必德·伊本·克莱（836～901），由于对毕达哥拉斯的“ 勾股定理”只适用于直角三角形有不同见解， 所以，为了所有的三角形都能适用，他尝试着将其一般化。
在不是直角三角形的三角形ABC上，从顶点A画线B'和C'至底边BC上，使角AB'B和角AC'C各自等于角BAC。
于是 （算式省略）
因为 三角形BAC、三角形BB'A、三角形CC'A是相似三角形，所以
BC：AC：AB=AC：CC'：AC'
=AB：AB'：BB'
在这里 （算式省略） 根据 （算式省略）
并且 （算式省略） 根据 （算式省略）
把两个算式相加足以证明了阿拉伯数字家的论点。
（图略）
提高能力
毕达哥拉斯三角形
直角三角形的时候，根据勾股定理，算式1成立。
（算式省略）。。。。。。1
把像算式（算式省略）这样的三个边长都是整数的直角三角形叫毕达哥拉斯三角形。试着做一
做，看看怎样把毕达哥拉斯三角形的三个边（a，b，c）代入公式，求出结果。
把1的两个边用b的平方来除的话，算式为
（算式省略）
因此 （算式省略）
在这里设 ＋ = ＋ =
（相乘时得1。m是大于n的整数）
根据（前式）－（后式）得出
（算式省略）
a是整数时，b=2mn， 所以把毕达哥拉斯三角形的三个边（a，b，c）代入公式（m是大于n的整数），即（算式省略）
（例）
a 3 5 15 7 21 35 9 45 11 63
b 4 12 8 24 20 12 40 28 60 16
斜边 5 13 17 25 29 37 41 53 61 65
4、爬在圆筒里的虫子 15分
问题
在高10cm的圆筒底部有一条小虫，我们假设这条小虫沿着与圆筒表面成30度角的一条直
线往上面爬行。
请问爬到上面要多少cm？
提示
和圆筒的半径没有关系。
解题 爬在圆筒里的虫子
我们可以考虑成小虫爬在高10cm 、角度为30度的直角三角形的斜边AB上面。
AB=10×2=20cm
（图略）
答案
20cm
小知识
如果不是圆柱、而是＇高10cm的圆锥＇的情形时是怎样的呢？
只要是以30度的角度在一条直线上行进，就和圆柱的情况一样。
5、封闭四边形 30分
问题
在平行四边形ABCD外部取任意一点P。三角形ABP和三角形DCP的面积之差是多少平方cm呢？
（图略）
提示
请参考平行四边形面积的求法。
解题 封闭四边形
如下图所示，把三角形ABP的高设为H＋h、三角形DCP的高设为h，那么
三角形ABP的面积=底边ABx高（H＋h）除2
三角形DCP的面积=底边CDx高h除2
=底边ABx高h除2
因此，两个三角形的面积之差是
三角形ABP的面积…三角形DCP的面积
=底边ABx高（H＋h）除2…底边ABx高h除2
=底边ABx高H除2
由于底边ABx高H等于平行四边形ABCD的面积，所以
三角形ABP的面积
