数学新干线-第7章
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拿了吗？”
反论智力题的内容是把反论做为教材的。可以考虑成是理论问题的变形。
因此，他们的效果几乎是相同的。只是反着说而已，更能锻炼人们的直觉判断能
力。
1、 谎言村的诚实者 15分
问题
诚实村的村民一定诚实，谎言村的村民肯定说谎。这两个村相邻，村民们常有往来。
正好有人来到了这里，可是不知道是哪一个村庄。要想知道是哪一个村庄，怎样问才好
呢？
（图略）
提示
由于两村的村民来回走动，即使随便找个人问也不知道是哪个村的。如果所到的村庄是
诚实村，你可以考虑一个诚实村和谎言村的人都一样回答的问题。
解题 谎言村的诚实者
来人问到＇请问你是住在这个村里的吗？＇，回答如下列表格所显示的那样，如果是诚实
村的人回答是肯定的，如果是谎言村的人回答也是肯定的。
询问的人 = 诚实 询问的人 = 说谎
诚实村 是 是
谎言村 不是 不是
2、你永远不会秃 5分
问题
＇你的头发很多呀，拔掉一根你的头发吧。只是拔掉一根又不会有太大的影响。你不会秃顶的。
假设没拔头发时是第n回，拔掉一根头发后是第n＋1回。我们确认了第n回的情况和后来只是拔掉一根头发的第n＋1的情况完全是两种不同的秃顶情况。
于是，无论拔掉多少头发都不会变成秃顶的。所以，完全把头发拔光你也不会变秃顶的＇
那么，要想避开这个反论应该怎么办才好呢？
提示
让我们好好考虑一下秃顶到底是怎么一回事？
（图略）
解题 你永远不会秃
如果明白秃顶的定义是什么，像这样的反论就不成立了。
比如说，我们明确了＇头发在少于3万根以下的时候叫秃顶＇这个定义以后，那么假设第n回的头发是3万根＋1时，拔掉一根的n＋1的情况下就变成了＇秃顶＇。
3、三角形的两边之和等于另一边 15分
问题
＇设三角形ABC的AB边的中心点为D、AC边的中心点为E、BC边的中心点为F。然后，连接各中心点D、F、E形成平行四边形ADFE。
在这个平行四边形里，AD和EF的长度相等，AE和DF的长度相等。因此，AB和AC的长度之和等于连接BD、DF、FE、EC的曲线的长度。
下面也同样，曲线BDFE的长度等于曲线BGHIFJKL的长度。 再接下来还是同样。。。。。。，
经过无数次重复之后，这个像锯齿似的曲线就会和底边BC重合。所以，三角形的两边之和等于另外一边。＇
那么，怎样能回避这个反论呢？
（图略）
提示
请用显微镜看。
解题 三角形的两边之和等于另一边
不管锯齿变得怎样细小，如果用显微镜看还是锯齿。不管怎样折叠弯曲，锯齿的长度还
是等于AB＋AC。
底边BC是点B和点C之间最短距离是直线，不管锯齿变得怎样细小，即使看起来好像和直线完全重合了一样，也不会变成直线。
小知识
后来成为文艺春秋出版社社长的菊池 宽最讨厌几何和数学。看到＇证明三角形的两边
之和大于另一边＇的考试题出来时，竟然在答案上写到＇这个证明就是，连狗都知道绕开走
＇
欧几里得（BC330？～ BC275？）利用＇线段的长短随着它所对应的角度而变。角度越大线
段的长度就越大＇的定理作出了证明。
（图略）
4、所有的圆周都相等 15分
问题
＇把盘子立在桌子上在不使其滑倒的情况下旋转一圈。于是，可以看到盘子的同心圆
盘子的底部也在一同旋转。如果在不使盘子滑倒的情况下旋转一圈的话，就形成了圆。所以，大的圆也就是盘子的圆周和小的圆也就是盘子的底部的圆周长相同。也就是说，所有圆周的长度都相等。＇
那么，怎样解决这个反论呢？
（图略）
提示
画一个图试一试。
解题 所有的圆周都相等
1在进入正题之前
设三角形ABC的两边AB和AC的的中心点分别为M和N。
在BC上的任意一点D和A连接，在MN上的交点为P，那么D和P是1比1相对应
的。因此，BC上所有的点在MN上都有相对应的点。
并且，MN上所有的点在BC上也都有相对应的点。
也就是说，BC上的点和MN上的点都是1对1相对应着的。
然而，MN的长度是BC的一半。像这样不同的两条线上的点，即使每一个点都是1对1相对应，但是并不能说两条线就相等。
（图略）
2圆周长
如图所示（图略），AB是大的圆旋转一圈的周长，PQ是同时旋转的小的圆的周长。
大圆的圆周上的点和AB线上的点是1对1相对应的。小圆的圆周上的点和PQ线上的点也是1对1相对应的。
因此，大圆的圆周上的点和小圆的圆周上的点也是1对1相对应的。
到这里和问题当中所说的意思是相同的。
如1所述，虽然说是1对1相对应的，并不能说长度就相等。因此，问题中提到的＇所有圆周的长度都相等。＇这一论述是不能成立的。
标题图解：能力提高
镜子照东西为什么只是左右相反呢？
镜子里照出来的影像左右是反过来的。为什么只是左右相反而不是上下倒过来呢？
面向镜子靠近看时，镜子里的影像反过来向前靠近。也就是说，镜子的功能是可以
改变前后位置的。
站在垂直放置的镜子前面，所看到的影像是上（头）在上、下（脚）在下、左在左边、右
在右边。然而，虽然面向镜子而立，镜子里的影像却是前后变换面朝向你这边。虽然镜子里的影像是上在上、下在下、左在左边、右在右边，由于前后变换着的影像和你面对面，所以左右是相反的。
站在平放在地上的镜子上面，这回你看到的是上（头）下（脚）颠倒的影像。然而，这种情
况上面应该是腹部，下面应该是背部。也就是说，上下仍然是不变的。之所以头和脚相反倒立过来，是因为前面所说的前胸和后背变换的原因。因此左右仍然是反过来的。
也就是说，只是左右相反的影像是因为镜子的功能是把上在上、下在下、左在左边、
右在右边原封不动的照下来，只是前边和后边倒过来而已。
有一种使左右不倒过来的方法。把三面镜子成直角放置，站在这种镜子的前面斜着看两
边的镜子，镜中的影像是前边和后边没有改变的。因为经过两次反射，左右相反的影像又一次被反射回来，所以看到的影像是左右没有倒过来。
5、弘法选笔 15分
问题
＇弘法不用挑笔＇。这个命题反过来就是＇不挑笔的人是弘法＇，命题里边的含义并不能说
肯定是＇不是弘法的人就挑笔＇。然而，把命题掉过来＇挑笔的人不是弘法＇的说法肯定是真的。上面是逻辑学所讲的东西。然而，＇如果不对他发脾气就不学习＇的命题的对偶是＇如果学习就被发脾气＇，这样的说法怎么也不能成立。因此，命题的对偶肯定是对的这种逻辑学上的理论是正确的吗？
弘法不挑笔 相反 不挑笔的人是弘法
对面 对偶 对面
不是弘法的人就挑笔 相反 挑笔的人不是弘法
提示
＇说谎！＇就是＇不要说谎啊＇的意思，这是一种常用的表现。＇如果不对他发脾气就不学
习＇的真正含意是什么呢？
解题 弘法选笔
开 展对偶和三段论法等理论，必须是把命题以惯用的手法直接表达出本意来。＇不被～就不＇是一种惯用的手法，他的意思是＇不等到被～就不＇。所以，命题＇如果不对他发脾气就不学习＇的真正含意是＇不等到被发脾气就不学习＇。
把这句话掉过来说就成为＇如果学习就不会被发脾气＇。这很明显是正确的。因此，对偶肯定是正确的反论是不成立的。
小知识
给你命题＇p…》q＇的时候，可以得出相反、对面、对偶等3个命题。
相反 ＇q…》p＇ 相反未必是正确的。
对面 ＇p…》q＇ 对面未必是正确的。
对偶 ＇q…》p＇ 对偶肯定是正确的。
相反的相反、对面的对面、对偶的对偶就返回到原来的命题了。
请用算式“X = 2 X2 = 4 ”确认上面的关系。
（图略）
6、那个谎话是真的吗？ 15分
问题
在一张卡片的第一面上写着
背面的话是假的（字框省略）
再看第二面时这样写着
背面的话是真的（字框省略）
第一面上的话如果是真的，第二面的话就是假的，那么第一面的话就是假的。
第二面上的话如果是真的，第一面的话就是真的，那么第一面的话是真的同时也是假的。
为了避免这样的反论，把第二面的话改写成
背面的话是假的（字框省略）
会怎么样？
提示
请从反正面都是真或者都是假来考虑一下。
解题 那个谎话是真的吗？
背面的话是假的 背面的话是假的
如果两面的话都是真的，那么两面的话就都是假的。如果两面的话都是假的，那么两面
的话就都是真的。然而，这两个都是不可能的。所以，一个是真的，另一个就应该是假的。但是哪一个是真的弄不明白。两面都写着同样的字，哪一面是真，那一面是假，把人都弄糊涂了，真是不可思议呀。
小知识
一个村庄里唯一的一个理发师傅这样说到＇这个村里的人，自己不剃胡须的人的胡子都
由我来剃。＇
那么，这个理发师傅自己的胡须是自己剃还是由别人来剃呢？
如果理发师傅是自己剃的情况下，那么他就是＇自己剃胡须的人＇。于是，他说的＇自己不
剃胡须的人的胡子都由我来剃。＇的话就不对了。
如果理发师傅自己的胡须是由别人来剃的话，那么他就是＇自己不剃胡须的人。＇于是，
因为他说＇自己不剃胡须的人的胡子都由我来剃。＇的话仍然是不对了。
这是伯特兰·罗素（1872～1970）作品中有名的反论问题。
7、突然袭击的考试30分
问题
当老师对学生们宣告说＇考试要搞突然袭击＇时，有一个学生说
＇那样考试就无法进行了。＇让老师大吃一惊。他的理由是
＇�
