投资学(第4版)-第202章

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750　第八部分附录

算三阶矩的三次方根：
m3（看涨期权）＝M3（看涨期权）1　/　3＝2。189　8（或2　1　8　。　9　8％）　
m3（看跌期权）＝（0　。　0　2）1　/　3＝0。272　5（或2　7　。　2　5％）　
把看涨期权的标准差2　2　9　。　1　3％及看跌期权的标准差5　2　。　5％与上述数字相比较，你能

看到期权标准差的大部分是由于正偏差引起的，这意味着好结果的幅度较大，而坏结
果虽然更可能发生，但幅度却很小＇　1　＇。
至此，我们已经利用情景分析法描述了离散概率分布的问题。我们还会在A　。　3节
“多随机变量的统计分析”中重新回到决策的情景分析法。

A。1。4　连续分布：正态分布与对数正态分布
当一种经压缩的情景分析法既是可能的，又是可接受的时候，决策就显得很简单
了。但是许多情况下，我们必须分清楚的情形太多了，以致于在实际中应用情景分析
法变得不可能。甚至在安休瑟…布希公司股票的例子中，尽管我们在确定情景时相当小
心，但实际上每个情景只能代表一个复合事件。

当必须考虑许多收益率的可能值时，我们就应该使用一个能刻画其概率分布的公
式。正如我们前面提到的那样，存在两种类型的分布：离散的与连续的，情景分析法
解决了离散分布的情形。但是，正态分布与对数正态分布这两种在投资中很有用的分
布却都是连续的。同时，它们经常被用在近似一些离散的随机变量分布，如股价上。
未来股价收益的概率分布是离散的—因为股票报价以1　/　8为单位。但是在习惯上，我
们一般用正态与对数正态分布来近似它们的分布。

标准正态分布：正态分布，也称为高斯（　G　a　u　s　s　）分布（以数学家高斯命名）或者钟
形分布。服从该分布的随机变量有如下的性质（见图A…1）　

。　期望值是其众数（出现频率最高的基本事件），同时也是中位数（所有基本事件
从大到小排列后那个位于中间的数）。注意，期望值与中位数或众数都不同，它是与
其事件相联系的概率相乘后
加和才得到的中间值。
。　正态分布是关于期望
值对称的。换句话说，绝对
值相同的正偏差与负偏差出
现的概率是相同的。对期望
值偏差越大，其事件发生的
可能性越小。事实上，正态
分布的关键之处就在于事件
的概率随着其偏差的增大而呈指数下降。
。　一个正态分布可以由两个参数完全决定，即其期望值和标准差。正态分布一个
有利于资产组合分析的特征是正态分布随机变量的加权和仍服从正态分布。这个性质
被称作稳定性，如果你对服从正态分布的随机变量加一个常数或乘以一个常数，它也
是稳定的，即变换后的随机变量仍服从正态分布。
设n是一个任意的随机变量（并不必服从正态分布），其期望为


，标准差为
。正
如我们前面所说的那样，如果你在n上加一个常数c，那么其标准差不变，均值变为
＋c。如果你把n扩大b倍，它的均值与标准差也会相应变为b　
和b　
。如果n是正态分布
的，转换所得的随机变量也服从正态分布。
稳定性，再加上正态随机变量完全由其期望及标准差确定的性质，意味着一旦我

＇1＇　注意，看跌期权的预期收益率为…3　2　。　5％，因此，最坏的结果为…6　7　。　5％，最好的结果为8　2　。　5％。中间情
景也有一个7　。　5％的正的偏差（它出现的概率有0　。　5　0　）。这两个因素解释了看跌期权的偏度。
图A…1　正态分布下的概率图
面积=Pr（r≤a）　
面积=Pr（a≤r≤b）　
面积=Pr（r≥b）　
=1…Pr（r≤b）　

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附录A　定量计算的复习

751　

们知道了一个正态分布的期望及标准差，我们就知道其所有的信息了。

如果把随机变量减去期望值，然后除以标准差，我们就得到了标准正态分布。服
从标准正态分布的随机变量具有零期望，具其标准差与方差都等于1的特性。正式地，
服从标准正态分布的随机变量z与其概率f的关系。由下式给出：

f　（　z）　=　


12p　
expè　
。。　…
2　
z2　
÷　
。　
。　
（　A　…　6　）　
其中“e　x　p”是指自然对数e的幂函数。象p一样，e是一个很重要的数值，两者在
上述公式中都出现了。它们的重要性足以让你在你的金融计算器上特意留下它们的键
盘。因为它们经常在连续分布的计算中会被用到。

连续分布的概率函数通常被称为密度，记为f，以区别于情景分析中的P　r；原因是
因为随机变量的可能取值有无穷多个，于是其取每个值的概率必为无穷小。密度是一
种函数，我们可以通过对它在一段区间上的积分来得到这一区间里取值的概率。换句
话说，如果我们要计算一个标准正态分布变量落在区间＇a，b＇上的概率，只要把随机
变量z从a到b的f（z）都加总起来就能得到。无论a与b多相近，在该区间内必有无数多
的随机变量z，积分正是解决这个问题的数学操作方法。

我们先来考虑一个服从标准正态分布的随机变量z小于等于a的概率，即z落在值域
＇…∞，a＇上的概率。我们应该对密度函数在区间＇…∞，a＇上进行积分，所得结果称为
累积（正态）分布，以N（a）表示。当a达到无穷大时，z就可以取任何值；因此这时
z取值的概率接近于1。任何一个密度函数都有这个性质，即当随机变量在整个取值范
围上进行积分时，累积分布就达到1　。　0。

同样，一个服从标准正态分布的随机变量z小于等于b的概率为N（b），于是，z在
区间＇a，b＇上取值的概率就是N（b）与N（a）之间的差。正式地，我们有：
P　r（a≤z≤b）=N（b）…N（a）　

图A　…　1列示了这些概念。图中画出了正态分布的密度函数。在图中我们可以看出
正态分布关于期望值的对称性（标准正态分布的期望为零，同时众数与中位数也为零），　
以及偏差越大概率可能性越小的特性。跟任何一个密度函数一样，在密度函数线下的
所有面积加总为1　。　0。a和b正好为正值，因此它们在期望值的右侧。最左边的区域是密
度函数中z≤a的部分，因此这部分面积就是a的累积分布，也就是z≤a的概率。中间的
区域是a与b之间的密度面积。如果我们把这部分面积加上a的累积分布，我们就得到
了到达b的总密度面积，也就是z落在b左边的概率。于是a、b之间的面积即为z落在a和
b之间的概率。

利用相同的逻辑，我们找到了z》b的概率。我们已经知道z≤b的概率为N（b）。由
于复合事件“小于等于b”和复合事件“大于b”是互斥的而且是完全的（指两个事件
包含了所有可能的结果），因此他们的概率之和为1　。　0；于是要计算z》b的概率，我们只
要简单地用1减去z≤b的概率即可。正式地，我们有：P　r（z》b）＝1…N（b）　

让我们再来看图A　…　1，密度函数下b到正无穷之间的区域面积就是密度函数整个面
积（等于1）与负无穷到b之间面积的差。

正态密度函数已经足够地复杂，以至于它的累积函数（即其积分）并没有一个很
精确的显式解。它必须求助于近似方法才能得到。就像本书中表2　1　…　2那样，我们已经
把任何z值所对应的N（z）值求了出来，并制成表供查询。

为了进一步说明问题，下面我们计算标准正态分布的概率：

P　r　（z≤…0　。　3　6　）＝N（…0　。　3　6　）＝z小于等于…0　。　3　6的概率

P　r　（z≤0　。　9　4　）＝N（　0　。　9　4　）＝z小于等于0　。　9　4的概率

P　r　（…0　。　3　6≤z≤0　。　9　4　）＝N（　0　。　9　4　）…N（…0　。　3　6　）＝z落在区间＇…0　。　3　6，0　。　9　4　＇之间的概率

P　r　（z》　0　。　9　4　）＝1…N（　0　。　9　4　）　=z大于0　。　9　4的概率


752　第八部分附录

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利用表2　1　…　2的标准正态累积函数（有时也称为正态分布面积）和图A　…　2，我们得
到：

N（…0　。　3　6）＝0。359　4　

N（0　。　9　4）＝0。826　4　

如图A　…　2所示，…0　。　3　6和0　。　9　4之间的面积就是z落在＇…0　。　3　6，0　。　9　4　＇之间的概率，因此
有：
P　r　（…0　。　3　6≤z≤0　。　9　4　）＝N（　0　。　9　4　）…N（…0　。　3　6　）＝0　。　8　2　6　4…0。359　4＝0　。　4　6　7　0　
z大于0　。　9　4的概率就是图A　…　2中0　。　9　4与正无穷大之间的面积。它等于整个面积与负

无穷大到0　。　9　4之间面积的差。因此有：

P　r（z》　0　。　9　4）=　1…N（0　。　9　4）＝1…0。826　4＝0。173　6　

最后，还有一个问题，如果z小于等于a的概率为p，那么a的值为多少？

我们假定得到a的函数为Ф（P），于是就有：

如果Ф（P）＝a，则P＝N（a）　（　A　…　7　）　
比如说，假设现在的问题是：累积密度为0　。　5的值为多少？只要看一下图A　…　2，我
们就知道负无穷到零（即期望值）之间的面积为0　。　5，于是我们就有：
Ф（0　。　5）＝0　因为N（　0　）＝0　。　5　
同样地
Ф（0。826　4）＝0　。　9　4　
因为
N（　0　。　9　4　）＝0。826　4和Ф（0。359　4）＝…0　。　3　6　
我们可以验证一下。从表2　1　…　2中得出Ф（0。655　4）＝0　。　4，这意味着具有累积分布
密度为0。655　4的值是z＝0　。　4　0。


图A…2　概率与累积正态分布

非标准正态分布：假定某种股票的月收益大致服从均值为0　。　0　1　5　（每月1　。　5％）、标准
差为0　。　1　2　7　（每月1　2　。　7％）的正态分布。那么在某月中收益率小于零的概率为多大？注意
由于收益率为服从正态分布的随机变量，它的累积分布密度就可以用数字方法得到。
标准正态分布表可以应用于任何一个正态分布的变量。

任一个随机变量x，可以通过下式而替换成一个新的标准化的随机变量x*：　

x　…　E（　x）　

x*　=　A…8　


（x　）
注意，我们对x所做的步骤是：（1）减掉期望；（2）乘以标准差的倒数1　/　＇　（x）　＇。
根据我们前面的讨论，对随机变量来说，加上和乘以一个常数的替换效果就是使替换
后的随机变量具有零均值和单位方差。

E（x）　…　E（x）　


（x）
E（x*）　　0；　


（x*）　　1　
（　x）　
（x　）　

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附录A　定量计算的复习

753　

从正态分布的固有性质我们知道，如果x服从正态分布，那么x*也服从正态分布。

一个正态分布的随机变量可以由两个参数完全确定：它的期望与标准差。对于x*来说，

它们分别为0与1　。　0。当我们对一个随机变量减去其期望然后再除以其标准差以后，我

们就把它标准化了。也就是说，我们把它转化成了一个服从标准正态分布的随机变量。

这个方法在对正态分布（近似正态分布）随机变量进行处理上应用得非常广泛。

回到我们先前考虑的股票。我们知道如果把月收益率减去0　。　0　1　5，然后再除以

0　。　1　2　7，所得的随机变量就是服从标准正态分布的。我们现在可以确定某月收益率小于
等于零的概率。我们知道，有
r　…　0。015　

z　=　

0。127　
其中r为股票的收益率，z服从标准正态分布。所以，如果r＝0，z就应该为：
0　…　0。015　

z（　r　=　0）　=　=…0。1181　

0。127　
当r＝0时，相应的标准化随机变量z＝…11　。　8　1％，为一负数。“r小于等于零”的事
件应与“