投资学(第4版)-第203章

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0。127　
当r＝0时，相应的标准化随机变量z＝…11　。　8　1％，为一负数。“r小于等于零”的事
件应与“z小于等于…0　。　118　1　”等价。计算后者的概率就能够解出我们要求的问题。它
的概率即为N（…0　。　118　1），利用标准正态表我们得到：
P　r（r≤0）=N（…0　。　118　1）＝0　。　5…0　。　0　4　7＝0　。　4　5　3　
结果很有意义。回忆起r的期望值为1　。　5％。所以，由于r小于等于1　。　5％的概率为0　。　5，　
r小于等于0的概率应该接近于0　。　5，但可能会再低一些。
置信区间：由于我们的股票具有较大的标准差，因此我们有理由去怀疑月收益率
绝对数值的可靠性。对于这个问题，一种量化的回答方法可以解决：“如果某股票收
益率落在某区间的概率为9　5％，那么该区间是什么？”这个区间也被称作9　5％的置信
区间。
一种符合逻辑的区间是以期望值为其中心的，因为r本身就是关于期望值对称的
正态分布随机变量。把所求区间记为
＇E（r）…a，E（r）＋a＇＝＇　0　。　0　1　5…a，0　。　0　1　5＋a＇　
它的区间长度为2a。r落在此区间内的概率可用下式表出：
P　r　（　0　。　0　1　5…a≤r≤0　。　0　1　5＋a）＝0　。　9　5　
要解决这个问题，我们首先从标准正态分布的随机变量入手。服从标准正态分布
的随机变量具有零期望与单位方差。
标准正态分布随机变量z的9　5％置信区间是什么？由于变量的分布关于零对称，因
此上面的计算式变为：
P　r　（　…a　*　≤　z　≤　a　0　）　=　N　
（a*）…N（…a0）=　0　。　9　5　
图A　…　3有助于你对上式累
积分布差所代表的意义有更好
的了解。落于此区间外的概率
为1…0　。　9　5＝0　。　0　5。由于正态分
布的对称性，z小于等于…a*的
概率为0　。　0　2　5，而且z≥a*的概
率亦为0　。　0　2　5。于是我们可以
用下式来解出a*：　
…a*＝Ф（0　。　0　2　5），其等价于N（…a*）＝0　。　0　2　5　
我们可以对这个解决思路作如下总结。如果我们要寻找一个置信水平为9　5％的置
信区间，我们可以定义为r落于置信区间之外的概率。由于具有对称性，


的一半就是

图A…3　置信区间与标准正态分布

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第八部分附录

754　

其落于置信区间右端的概率。同时其落于置信区间左端的概率亦为


/　2。所以与P之间
的关系为：
=1…P＝0。05　
/　2＝（　1…P）　/　2＝0　。　0　2　5　
我们这里使用
/　2的原因就是考虑到分布的两个尾部把r以外的区域平分了。不含r　
值的任一尾部都具有
/　2的面积。值
=1…P表示的是不含r值所有区域的面积。
为了确定标准正态分布随机变量的置信区间下边界z＝Ф（a/　2）。我们通过标准正
态累积分布值0　。　0　2　5来确定z　值。查表得z　=…1　。　9　6　，于是我们推断出…a*＝…1　。　9　6　，　
a*=1　。　9　6，z的置信区间为：

é　。　

。êE（z）　…F　è2　
。　
。；　E（z）　＋F　è　
。　
2　。　
。　
。　
ù　
ú　=＇…F（0。025）；f（0。025）＇=＇…1。96；1。96＇　

为了得到非标准正态分布随机变量r的区间边界，我们只要利用关系式r＝z　


（r）＋　
E（r）＝Ф（　
/　2　）　（r）＋E（r）来转化z的边界即可。注意，我们迄今为止都是设期望值为置
信区间的中心，然后以其一定数量的标准差向两边拓展。标准差的数量取决于我们允
许其落于置信区间之外的概率（
），或者就是其落于置信区间的概率（P）。通过加减
1　。　9　6　（即z=±Ф（0　。　0　2　5）），我们得到期望值两边的距离为±1　。　9　6×0　。　1　2　7＝0　。　2　4　9，于是
我们得到了置信区间：
é　
（r）Fè　
。　
。　
。　；　E（r）　＋　（r）F。　
è　。　
。ù　
ú　=＇E（r）　…0。249；　E（r　）　＋0。249＇　=＇…0。234；0。264＇

êE（r）　…

。　

22　。　

é　
以满足于P　=1…=　pr　E（r）　…　（　r）Fè　
。　
2　。　
。
≤r　≤E（r）　＋　（r）Fè　
。　
2　。　
。　
。　
ù　
ú

。ê　

对于我们的股票（期望值为0　。　0　1　5，标准差为0　。　1　2　7）来说，也就是：

P　r　＇…0　。　2　3　4≤r≤0　。　2　6　4　＇＝0　。　9　5　
注意到由于股票收益率的标准差较大，9　5％的置信区间的宽度竟达到了4　9％。
利用该例的一个变体，我们再复习一下计算过程。假设我们要求一个资产组合年

收益9　0％的置信区间，其年收益率的期望值为1　。　2％。标准差为5　。　2％。
该例的解为：

Pr　
é　
êE（r）　…　（r）Fè　
。1　…P　
。　
。　
≤rp≤E（　r）　＋　（r）Fè　
。1　…　P　
。　
。ù　
ú

。　

22　。　

=Pr＇0。012…0。052　′1。645≤rp≤0。012　＋0。052　′1。645＇　

=　Pr＇　…0。073　5　≤rp≤0。0975＇=0。90　

因为该资产组合的风险较低，而且我们要求落于所求区间的概率为9　0％（而非
9　5％），所以该置信区间的宽度仅为2　。　4％　

对数正态分布：采用正态分布来描述股价及收益率存在着两个不足。首先，尽管
正态分布允许随机变量取任何值（包括负值），但实际的股价不可能为负。其次，正
态分布不适于计算复利。而对数正态分布解决了这两个问题。

对数正态分布描述了一个不断增长的随机变量，它的增长率为一正态随机变量。
因此，一个对数正态分布随机变量的生成过程反映了连续计算复利的特征。
假定某股票以年连续复利（Annual　Continuously　pounded，A　C　C）计算的收
益率服从正态分布，且其期望值为


＝0　。　1　2，标准差为
＝0　。　4　2，年初的股价为P0　＝1　0　
美元，利用连续复利（参见第5章附录），如果年复利rc　＝0　。　2　3，则年末的股价应为：
P1　＝P0　ex　p　（rc）＝1　0e0　。　2　3＝1　2　。　5　8　6美元
其等价的有效年利率为

r　=　
P1　…
P0　
P0　=e　rc　…1　=0。2586　（或2　5　。　8　6％）　


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附录A　定量计算的复习

755　

这就是服从对数正态分布的年利率r的实际意义。注意，尽管年连续复利rc可能为
负，但期末股价P1不可能为负。
服从对数正态分布的金融资产具有两个重要的特性：它们的期望收益以及考察期
长度的可变性。
服从对数正态分布资产的期望收益：一个对数正态分布股票的期望年收益为：

E（r）　=　e　x　p　（　


＋　
2/　2　）…1　=　e　x　p　（　0　。　1　2　＋　0　。　4　22/　2　）…1　=e0　。　2　。　8　2…1　=　0　。　2　3　1　5　（或2　3　。　1　5％）
这只是关于分布统计值的一个数学特性。鉴于此，一个有用的统计量
*定义如下：
2　


*　=　
＋=　0。208　2　
2　

当分析家们提到对数正态分布资产年复利的期望时，他们一般是指


*。通常这份
资产的年复利就被认为服从期望是
*、标准差为的正态分布。
考察期间长度的可变性：对数正态分布允许资产持有期的变动。假定我们希望能
计算月收益，而非年收益。我们用t来表示我们要求的时间段，为方便起见，t用分数
（以年为单位1）来表示；那么在比例中我们就设t=　1　/　1　2。为了把年收益的分布转化成t　
时段收益的分布，我们只需要把原分布的期望与方差乘以t即可（比例中t=　1　/　1　2）。
在我们这个例子中，股票月连续复利的期望和标准差为：



（月）＝0　。　1　2　/　1　2＝0　。　0　1　（或者说每月1％）　
（月）＝0　。　4　2／　
12　＝0。121　2（或每月1　2　。　1　2％）　
*（月）＝0。208　2／1　2＝0。017　35（或每月1　。　7　3　5％）　
注意我们在把年转化为月时，方差应除以1　2；因此标准差应除以

12　。
同样地，我们可以把一个非年利的分布转化为一个以年利计算的分布。例如，假
设股票周连续复利服从正态分布，且


*＝0。　0　0　3，　
＝0　。　0　7，于是年连续复利分布的各
项指标为：
*＝52×0　。　0　0　3＝0　。　1　5　6　（或每年1　5　。　6％）
＝
52　×0　。　0　7＝0　。　5　0　4　8　（或每年5　0　。　4　8％）　
在实际应用中，为了得到标准正态分布的连续复利R，我们通常取原始收益率加

1　。　0后所得和的对数：
R=　l　o　g（1　＋r）
在短时期内，原始收益率很小，所以连续复利R也会与原始收益r非常相近。所以
对于一个月或短于一个月的期间来说，这个转换并不是必需的。也就是说，用正态分
布的股票收益率来近似已经足够精确了。但是对于一个较长的时期来说，这个转换还
是很有必要的。

A。2　分析分布特征的统计方法
迄今为止我们的分析都是“向前看”，或者如系统经济学家所说的“以过去推知
未来”。我们已经讨论了概率、期望值与惊奇。如果我们假设决策结果的分布遵循一
个相对简单的公式，而且我们对该分布与参数也了如指掌，那么我们就能较容易、较
准确地进行分析了。

投资管理者必须让他们自己确信这些假设都是合理的，而他们是通过长时期对相
关随机变量观测值的积累来达到这一点的。为了做出最优决策，股票收益率在以前的
分布是他们必须知道的一个要素。确实，收益率的分布随着事件在不断改变。但是，
一个不太“古老”的样本应该能够对下一期的收益率分布及参数提供相关的信息。在
这一节中，我们介绍一些描述分布的统计量，它们也被称为历史样本的组织分析。

A。2。1　柱状图、盒式描点与时间序列描点
表A　…　3列出了两种主要资产：标准普尔5　0　0指数与长期政府债券资产组合在1　9　2　6年
到1　9　9　3年的年超额收益（超过国库券收益部分）。


756　第八部分附录

表A…3　股票及长期国债（到期溢价）的超额收益（风险溢价）　

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年份股权风险溢价债券到期溢价年份股权风险溢价债券到期溢价
1　9　2　6　8　。　3　5　4　。　5　0　1　9　6　3　1　9　。　6　8　…1　。　9　1　
1　9　2　7　3　4　。　3　7　5　。　8　1　1　9　6　4　1　2　。　9　4　…0　。　0　3　
1　9　2　8　4　0　。　3　7　…3　。　1　4　1　9　6　5　8　。　5　2　…3　。　2　2　
1　9　2　9　…1　3　。　1　7　…1　。　3　3　1　9　6　6　…1　4　。　8　2　…1　。　11　
1　9　3　0　…2　7　。　3　1　2　。　2　5　1　9　6　7　1　9　。　7　7　…1　3　。　4　0　
1　9　3　1　…4　4　。　4　1　…6　。　3　8　1　9　6　8　8　。　5　8　…5　。　4　7　
1　9　3　2　…9　。　1　5　1　5　。　8　8　1　9　6　9　…1　5　。　0　8　…11　。　6　6　
1　9　3　3　5　3　。　6　9　…0　。　3　8　1　9　7　0　…2　。　5　2　5　。　5　7　
1　9　3　4　…1　。　6　0　9　。　8　6　1　9　7　1　9　。　9　2　8　。　8　4　
1　9　3　5　4　7　。　5　0　4　。　8　1　1　9　7　2　1　5　。　1　4　1　。　8　4　
1　9　3　6　3　3　。　7　4　7　。　3　3　1　9　7　3　…2　1　。　5　9　…8　。　0　4　
1　9　3　7　…3　5　。　3　4　0　。　0　8　1　9　7　4　…3　4　。　4　7　…3　。　6　5　
1　9　3　8　3　1　。　1　4　5　。　5　5　1　9　7　5　3　1　。　4　0　3　。　3　9　
1　9　3　9　…0　。　4　3　5　。　9　2　1　9　7　6　1　8　。　7　6　11　。　6　7　
1　9　4　0　…9　。　7　8　6　。　0　9　1　9　7　7　…1　2　。　3　0　…5　。　7　9　
1　9　4　1　…11　。　6　5　0　。　8　7　1　9　7　8　…0　。　6　2　…8　。　3　4　
1　9　4　2　2　0　。　0　7　2　。　9　5　1　9　7　9　8　。　0　6　…11　。　6　0　
1　9　4　3　2　5　。　5　5　1　。　7　3　1　9　8　0　2　1　。　1　8　…1　5　。　1　9　
1　9　4　4　1　9　。　4　2　2　。　4　8　1　9　8　1　…1　9　。　6　2　…1　2　。　8　6　
1　9　4　5　3　6　。　11　1　0　。　4　0　1　9　8　2　1　0　。　8　7　2　9　。　8　1　
1　9　4　6　…8　。　4　2　…0　。　4　5　1　9　8　3　1　3　。　7　1　…8　。　1　2