黄万里文集-第18章

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along　the　vertical　such　that

h
？　u　3　dy　=　min　。
（15）

whith
o
u　=　u（　y　）　=　u（y；？　）　；　where
？　=　？（y　）　。
Substituting　Eq。　（12）　into　（15）；　we　have

u　3
h h ？
3
y　　dy ？
？　u　3　dy　=　？
*　　？？
　　　　＋　1？
dy　=　min　。
（16）
o o ？　o　　？y ？



The　　　equation　　　shows　　　that　　　the　　　required　　　condition　　　of　　　minimum　　　holds　　　for　　　any

multiple　of　u；　i。e。；　u=kua　；　as
u*　　　=
ghJ
is　given；　This　offers　a　method　to　determine

the　　absolute　　values　　of　　u　　so　　as　　satisfy　　Eq。　　（13）。　　Let　　us　　change　　u　　to　　ua　　in　　Eq。　　（12）　　and

（16）　for　the　time　being：

h h
？　u　3　dy　=　k　？
u　3　dy　=　min　。
（17）
o o a

According　　　to　　　the　　　variational　　　principle；　　　the　　　Euler　’s　　　Formula　　　provides；　　　the

extremum　occurs　at
u　2　　　？ua　　　　=　0
a　　　　？？

since
ua　　　？　0　；　the　minimum　condition　is
？ y　　dy
　　　？　　　　=　0



（18）
？？　　o　　？y

The　integral　equation　is　solved　through　the　following　processes：
y　　d　ln　y 1　　　dy
？ 　 ＋　　 =　0
？o ？　2
？y　d？



88


d　ln　y
d　（d　ln　y　） d　ln　y
d　（d？　2　　/　2）
（ ） （ ）　
　 =　　 ？　　 ？
？　2 d　？　2　　/　2 d　？　2　　/　2
d　（？　2　　/　2）
1　d　（？　2　　/　2）
d　（d　ln　y　）
d　（d？　2　　/　2）
　 =　　 ？
2　　　？　2　　/　2 d　ln　y
d　（？　2　　/　2）

？　　　？　2　　？
1
1
　　　ln？　2　　/　2　=　ln（d　ln　y　）　？　ln？　d　　 ？　＋　ln　C
2 ？ 2　　？


1
？　？　2　　？　2
？　　　　　？
？　　2　　？

？　？　2　　？
1
d　？　　　　　？　=　C　d　ln　y
？　　2　　？

3
2　？　？　？　2
　　？　　　　？
3　？　2　？

2
=　ln　y　C1　　　　＋　C

？　3
2
　 =　ln　y　C1　　　　＋　C

（20）

The
3
？　~　　y
2
curve　　is　　fixed　　at　　the　　two　　ends　　by　　the　　following　　relations：　　At　　the

water　surface；



y　=　h；



？　=　0；



u　=　umax



（21）

1 y
This　　is　　seen　　from　　the　　Nikuratze　　experiments　　of　　　　　　　　~　　　　　
ro ro
curves；　　although　　　？　　　is　　a
little　over　zero　when　the　Reynold’s　number　is　high。　M。S。Yalin　（page　31；　（2））　explains

that　　when　　approaching　　the　　free　　surface；　　the　　turbulent　　fluctuations　　will　　be　　dampened
du
so　that　1　tends　to　zero　while　　　　
dy
is　not　necessary　to　be　zero。

At　the　top　of　sand　bed；　we　already　have

y　=　y0　　　=　v　/　u*　　　？　0；
？　=　1；
u　=　u*
（11）

Thus；　by　substituting　Eq。　（21）　into　（20；
C1
ln　h
？　C2　　　=　0
（22）
Also　Eq。　（11）　into　（22）；



89


1 1
y ？ ？
？　=　？　ln
？　ln　　1　　？　3

　
？ ？
？ h　？

u　h
？ ？
R
？ *　　？
（23）
where
R*


　ua　　
=　　　　　*　　　　
v


y　　dy



1
？ 1　　？　3


d　ln　y
y　　 h　　
（24）
*
u　　　=　？o　　？y
＋　1　=　？　ln
？
？　　？
o
R*　　？ ？
＋
1
1
y　？　3
？　ln　　　　　？
？ h　？

2
3
1　？ y　？
*
=　（1　＋　1。5　ln　R
）　？　1。5（ln　R
）　？　ln　　　　　？　3
（25）
*
？ h　？

To　find　the　mean　of　ua　；

d
？　y　？
？　　　　？
　uam　　　　=　1　？h　　ua　　 1　？　y　　　　？　h　？
u
　　 dy　=　（1　＋　1。5　ln　R　　）　？　1。5（ln　R　　）3
u* h　　o *
* * o
2
？　ln　y　？　3
？ ？
*
1
？ h　？


*
=　（1　＋　1。5　ln　R
）　？　1。5（ln　R
）3　？（5　3）

（26）

To　transform　ua　　back　to　u　in　order　to　satisfy　Eq。　（13）；　we　can　let
m
*
　ua　　　　？　1
u　？　u
=　（u
？　u　　）　　u　？　u*　　　　　=　　　u*　 （u
？　u　　）
（27）
* m *
um　　？　u*
　uam　　　　？　1
u*


ln　R


？　（ln　R

2
）1　？　ln　y　？　3
？　　Q ？ *
*　　　3　？ ？
？ h　？

　
？ u　=　？　　　　　　？　u*　？ 1 ＋　u*
Bh
（28）
*
？ ？　　ln　R*
？　（ln　R
）3　？（5　3）

u*　h

h　3　2 gJ

？　5　？
in　which
u*　　=
ghJ　　；
R*　　　=　　 =　　 ；
？？　　　？　=　0。9028
v v ？　3　？



90


2
？　　Q ？　（ln　R
）=3　（ln　y
h）3
u　=　u*
＋　？　　　　　　？　u*
　 *　
2
2
（29）
？
？　Bh
？　（ln　R

*
C
）=3　　　？　？（5　3）

hJ



　 ？　　 （30）
ghJ
When　y=h；
u　=　umax　　　= 2 2
1　？　？（5　3）　　（ln
ghJ　）=3 （ln
ghJ　）3
？（5　3）　？　1



When　y=ym；

u　=　um　；　（ln　y

2
h）3
±1
=　？（5　3）　=　0。9028；　ln　　　y
？ ？
？　　　　？
？　h　？

=　0。8578　；

ym　　/　h　=　0。424
（31）
which　　is　　the　　exact　　location　　of　　the　　mean　　velocity　　um　　　along　　the　　vertical　　of　　profile；
while　　　the　　　conventional　　　stipulation　　　of　　　measuring　　　um　　　　　is

downward　from　the　water　surface。
1　？　ym　　/　h　=　0。6　？　0。576

It　　is　　seen　　that　　Formulae　　（23）　　and　　（29）　　without　　any　　empirical　　coefficient　　are

derived　from　purely　theoretical　analys


Example
Data　from　“Summary　of　Alluvial　Channel　Data　From　Flume　Experiments”；　1956…61。

U。S。Geological　Survey　Professional　Paper　462…1；　1966。　By　H。P。Guy；　D。B。Simmons；　and　E。V。Richardson。
Run　1。　P。　162；　163。

Slope J=0。00034

Depth 0。58　ft。　=　0。177m。　from　bottom　of　flume。

h　=　0。535　ft。　=　0。163m。　from　sand　bed。　Width B　=　8。00　ft。　=　2。439m。
Discharge Q=3。42　c。f。s。=。0969m3　/s。　　≈。984m3　/s　（from　pitot　tube　measurement）
q=Q/B=0。428ft2　/s；=0。0394m2　/s。≈。04036m2　/s
Temprature T=13。6o　C

Suspended　load　=　0；　Bedload=0。000032　lb。/s。ft。=0。0476　t/s。m。
Bed　particle　size　=　0。643×10…3　ft。；　D50　=0。000196m。
Mean　Velocity；　apparent；
uam　　　=　3。42　/　0。58　×　8　=　0。737　ft　/　s　=　0。225m　/　s
Mean　Velocity；　actual；
um　　　=　Q　/　Bh　=　3。42　/　0。535　×　8　=　0。799　ft。　/　s。。
=　0。0394　/　。163　=　0。242m　/　s
91


。04036
Mean　Velocity　from　pitot　measurement=　um　　　=　？u？y　/　h　=　　 =　0。248m　/　s
1
。163

Shear　Velocity=0。080　ft。/s=0。0244m/s。　for　h=0。177m。


*
Shear　Velocity　actual；
u　　　=　（9。81×　。163　×　。00034）=　2　　　=　0。0233m　/　s

Kinematic　Viscocity

v　=　1。28　×10　？5　　ft　2　　/　s　=　1。19　×10　？6　m　2　　/　s。
Shear　stress　at　flume　bed=0。012　lb。/sq。ft。=58。6×10…6　t/m2　。

　　　　*
u　h
Reynolds　Number　R=328；　Shear　Reynolds　No。= =　R


。0233　×　。163
=
　 =　3。192

Froude　Number　F=0。17。
v * 1。19　×　10　？6

1 1
Chezy　　　C
g　　=　9。3　ft　2　　/　s　=　5。14m　2　　/　s。

Manning　n=0。026

Bed　configulation；　ripple。

The　curve　fitted　　　　u=0。47　lg　y＋1。15　ft。/s。

=0。143　1g　y＋0。425　m。/s

=0。312＋0。0621　ln　y/h　m。/s。


Original　Data　from　the　U。S。G。S　Experiments


SEDIMENT　TRANSPORT　IN　ALLUVIAL　CHANNELS

TABLE　12　–　Vclocity…profle　data　for　0。19…mm　sand　in　8…foot…wile　flume

（The　lateral　section　used　for　measuring　was　95…115　ft。　from　the　headbox。
w。s。…water　surface）


　


Run 2。0　ft　from　left　wall　of　flume 4。0　ft　from　left　wall　of　flume 6。0　ft　from　left　wall　of　flume 　　　
　 Distance　above　sand
bed　（ft）
Velocity
（fps） Distance　above　sand
bed　（ft）
Velocity
（fps） Distance　above　sand
bed　（ft）
Velocity
（fps） 　　　
1 。564 w。8。 。535 w。3。 。523 w。3。 　　　
2 。547 。88 。506 1。15 。492 1。09 　　　
3 。447 。76 。406 1。07 。392 1。09 　　　
4 。347 。76 。306 。91 。292 。91 　


92


　
5 。247 。68 。206 。91 。192 。84 　　　
6 。197 。68 。156 。77 。142 。76 　　　
7 。147 。58 。106 。77 。092 。80 　　　
8 。097 。52 。056 。52 。042 。76 　　　
9 。017 。52 。006 。38 …… …… 　


The　averaged　velocity　profile　of　the　above　data
Run　1。　G。S。Prof。　Paper　462…1；　1966

By　Guy；　Simmons　and　Richardson


　

y
（ft）
h
（m）
y/h Velocity；（ft/s）
Δy
Interval
u
（m/s）
Δy？u　 　　　
　 　 　 2ft　left
Middle 6ft　left
Average 　 　 　 　　　
。535 。163 1。000 w。s。 w。s。 w。s。 1。03 。004 。314 。00126 　　　
。506 。154 。9450 。82 1。15 1。10 1。02 。020 。312 。00624 　　　
。406 。124 。7610 。76 1。07 1。09 。97 。030 。296 。00888 　　　
。306 。0933 。5720 。72 。91 。92 。85 。031 。259 。00803 　　　
。206 。0628 。3850 。68 。91 。85 。81 。031 。247 。00568 　　　
。156 。0476 。2920 。60 。77 。78 。72 。023 。219 。00328 　　　
。106 。0323 。1980 。53 。77 。77 。69 。015 。210 。00315 　　　
。056 。0717 。1050 。52 。52 。77 。60 。015 。183 。00275 　　　
。006 。00183 。0112 。52 。38 …。 。40 。009 。121 。00109 　


Q
　　　=　。0394　？　？u？y　=　0。04036
B

=
Q 。0394
u　o 　　　　　=　　 =　。242（m　/　s）
？u？y 。04036
=
？　u 　 =　　 =　。248　（m/s）
m Bh
。163
m h 。163


putation　Sheet
The　Fundamental　Formula

2
3
=2 ？ y　？
*
）
（ln　R
）　　？　？　ln　　　　　？　3
m
u　=　u*
＋　（u
？　u*
= ？　　　h　？　　
2
*
（ln　R
）=3　　　？　？（5　/　3）


93




um…u*　=0。248…0。0233=0。225
putations


ln　R*

=　8。068；

*
（ln　R

2
）=　3　　　=　4。023；

？（5　/　3）　=　0。9028


2
4。023　？　（ln　y　/　h）3
u　=　0。0233　＋　0。225　×　　
4。023　？　0。9028


2
？ y　？　3
u　=　0。313　？　0。0720？　ln　　　　　？
　The　proposed　Formula （1）
？


The　Karman　Formula：
h　？

u　　=　2。5　ln
u*


　u*　
v


y
y　＋　5。5　=　5。5　＋　2。5　ln　R*　　＋　2。5　ln
h
u　=　0。598　＋　。0583　ln　y　/　h
u　=　0。312　＋　。0621ln　y　/　h
　The　Karman　formula。 （2）

　The　fitted　formula。 （3）



Results　of　putation　and　Measurement


　

y
（m） y
h ln　　y
h （ln　　y　）2/3　
h
u（1）
proposed
u（2）
Karman’s u（3）
data　fitted
u
measured 　　　
0。163 1。000 0 0 0。313 0。598 0。312 0。314 　　　
。154 。945 …。0566 。147 。302 。594 。308 。312 　　　
。124 。761 …。2731 。421 。283 。582 。295 。296 　　　
。0933 。572 …。5586 。678 。264 。565 。277 。259 　　　
。0628 。385 …。9545 。