黄万里文集-第4章

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近代基于统计学理的分子学说业已相当发展，足为宏观的连续介体力学导向
一个新的领域。在另一方面，连续流体的概念提供了一个理论性模型，便于对物
理学某些部门作出数学分析。例如近年创始的为原子核所作的液体模型，核中包
括有粒子和中子。根据这些观点，作者认为第二定律的含义可以伸展如次。
在独立系统的物理中，在给定的初始与边界下，所有相互作用着的分子总是
这样地运动着，使整体总机械能转化为热能的能量变率随时产生着全系统的一个　最大的熵。
同样，在勃朗运动里，浸在液体中的宏观微粒，由于和液体分子相撞所造成
的内部热震变，总是表现着一种随机性的运动。由于这种运动明显的不规则性，
这一问题从来都是按现象的偶然性处理的。另方面，设想每一微粒的运动可能以
拉格朗奇坐标来表达，那么，最大总热能转化率的第二定律，原则上，对第一微
粒可以各按其片面的最大，提供一个偏微分方程。所有这些方程的联解可从现象
的必然性定出各微粒的运动向量。这样，对勃朗运动的随机分析，便能完全地概
括出两种对立的表达方式，组成了宇宙间基本辩证法则中一组对立的统一。


二、流体力学的第二定律　
在流体力学里，无磁极液体在不可压缩情形下的质量和能量守恒定律（第一　类定律）是分别以拉泼拉斯连续方程
j
=？　　　（U
？X　i

＋　u　j
）　=　0

（7）
和纳芙叶一司笃克斯运动方程
i
=？　（U
？t i
＋　u　　）　＋　（U

＋　u　j
）=？　　　（U
j
i
？X　i

i
＋　u　　）




14



1 2
？
=　X　i
？ ？
　 （P　＋　p）　＋　v　　 （U
i
2 i
＋　u　　）
？　？X　i
？X　j


（i　=　1；
2； 3）
（8）


描述的。式中　Ui　＋ui　或　Uj　＋uj　代表流速场的各卡氏坐标分速，其中平均流速场　Ui　=Ui
（Xi　； t）为空间位置　Xi　　和时程　t　　的函数，紊流脉动　ui　　为相同变数的三个随机函
数，其均值皆为零。同样，P＋p　为具有流体恒定密度　？　的压力场。Xi　为体积力场
的分加速度，v　为运动学粘度。全以标准卡氏坐标符号表示。　上列各式可以分成两部分。关于平均流的是

？U
= j　　　=　0
？X　j
（9）


　？U　i　　　　＋　U
　？U　i　　　　=　X
1　　？P ？　2U ？
2
i　　　　　j
？　　 ＋　v　　 i　　　　？　　 u　u
i
和 ？t i
？X　j
？　？X　i
？X　j
？X　j


（i　=　1；
2； 3）
（10）


最后一项　—
ui　u　j
=　？　ij　　代表由紊流脉动所兴起的、作用在平均流上的雷诺应力。


多了这项，就添了些未知数，致使平均运动的四个方程不足以定出四个未知数　P
和　Ui　。
紊流脉动的连续方程和动量方程是

？u
=　　　j　　　　=　0
？X　j


j
和 　？ui　　　　＋　u





j
　　？ui　　　　　＋　u





　 ？
　？U　i　　　　＋　？ui　u　j ？ui　u　j
（11）
？t ？X　j
？X　j
？X　j
？X　j


1 ？p
？　2　u
=　　　　？　　 ＋　v　　 i　　
（　j　=　1；
2； 3）
（12）
2
？ ？X　j
？X　j

15


由此可见，这一组数式是不定性的，任何紊流问题安全的数解超过了近代计
算机的能力，致使紊流的分析在很大程度上依靠试验。
更有进者，这些公式是应用在某一空间　Xi　和时程　t　的流体中极小的宏观体积
dX1　dX2　dX3　　　上的。当流动时，所有这样的小体积是在孤立系统整个流体中在给定
的初始和边界条件下相互约束的。若可能积分，则当积分之前，必先定出全系统
下端控制断面的流程位置　xC　　及在明槽中从　xC　　处水面高程　ybm　　起始的水面线，或
管流中从　xC　处压力　PC　起始的沿程压力线。（以下有时用　x；　　y；　　z　来代表　Xi　）。下端
断面　xC　处不同的控制，亦即不同的槽底高程　ybc　或压力　PC　，虽然同样应用两个恒
定定律计算，会对上述产生不同结果的流速和压力。所以，诸守恒定律虽属必需，
但不仅由于公式联解之困难，且仍不足以完全地描述流体运动的现象。
在明槽流中，若槽底坡降向下游渐增，流到某一位置总会有一个控制断面，
那里的平均流速等于坡速，从此以下流态变为射流，各质点好象分散似地个别流
出。这个断面就是独立系统缓流整体的下端断面，其中各点的流速皆小于波速，　而压力则三向齐等。
兹将流体动力学第二定律，即最大能量消散率定律申说如次。
流体或参有固体的多种流体在一独立系统内，在给定初始或边界条件下流动
时，在任何时刻的密度、速度和压力总是这样地分布，使得系统整体的能量消散　率随时为一最大值。
能量消散率，亦即每单位质量当时程　t　机械能转化为热能的变率是＇1　＇　

？E　＋　？？

？U
1
？？
v
= ？？ i
？
？

j
2
？U　　　？
＋　　 ？
？

？　？u
？
j
＋　？ i

j
2
？u　　　？　　？
＋ ？　　？


j
（13）
？t ？t
2　　　？？　？X　j
？X　i　　　？
？　？X
？
？
i　　？　　？

其紊流的整体均值则为

？
？E ？？
1　　　？　　？U

2
？U　　？

？
j
？　？u

？
？X
2
？u　　　？
　　　　　＋　　　　　=　　　v？？　　 i　　　　＋　　 i　　　？
＋　？　　 i　　　　　＋　=　　　j　　　？　　？
（14）
？
？t ？t
2　　　？？　？X
？？
？ i
？X　i　　？
？　？X
？X　　　？　　？
？
？E ？？
式中　　　　　为由于　平均流速　梯　度、　　　　　为由于　紊动流速　梯　度每单位　质　量的能量　消　耗
？t ？t

率。前者较之后为量甚微，可以忽略不计，因此消散率可简单地表达如下：



16



？？ 1 ？u
2
？ ？u　　　？
？X
？X
　　　　=　　　v？　　 i　　　　　＋　=　　　j　　　？
（15）
？
j
？t 2
？ ？
i　　？

其紊流的整体均值则为

？？ 1 ？u
2
？ ？u　　　？
？X
？X
　　　　=　　　v？　　 i　　　　　＋　=　　　j　　　？
（16）
？
j
？t 2
？ ？
j　　？


　？EMT　　　　？


　？？　M　　　？
按照流体力学第二定律，独立系统整体总的能量消散率
？t

大：
？　=
？ ？t
？　随时为最
？
　？　E　MT　　　　　　　？
　？　？　M　　　　　　　=

O
？y
O
？X
？Z
2
X　　C y　bm
Z　m　　　？　？
　 ？　dzdydx
？　t ？　t
bO ？　t

？ X　　C

y　bm
Z　　m　　？　　？　u
？　u ？
？　　　 i　　　
= j　　　　？
dzdydx
=　　最大（17）
= ？　X ？　y ？Z ？　　？
＋　　　？ ？
2 O bO
O　　　　？ x　　j
x　i　　　　　？

前列各式中粘度　？　=　？？　，注脚　O　　及　m　　表示积分极限。此式若无横线也适用于任

一时刻的能量消散率。
按最大极限的必需条件：
？　？E ？
d　？　　 MT　　　？　=　0
（18）
？ ？t ？
在给定的边界条件里，明槽的立体几何表面可以下式之一表示：

b
b
zb　　　=　zb
（x；
y　　），或　y

b
=　yb
（x； z　　）

（19）


式中　yb　为槽面某点的铅直坐标，zb　为这点的槽宽，明槽的深水线纵剖面可以下式
表示：

ybo　　　=　ybo　（　x；
zb　　　=　0）　=　ybo　（　x）
（20）


从式（18）可得三偏微分方程：
？　2　E
？　2　E
？　2　E
　 MT　　　　=　0　，　　 MT　　　　=　0　，及　　 MT　　　　=　0
（21）
？xc　？t
？ybm　？t
？zbm　？t



17






y　bm

j
z　b　（　x　；　y　b　）　？　？　u
x　c
2
？
？　u ？
或　？　　　　　？
？　　 i　　　　＋
= j　　　？
dzdy =　0
？
y　bo　　（　x　）　　　　o




bm
？　？　x



？
b　　　　　　b　　　　　？　？　u
？　x　j　　　？


2
？ ？

x　=　0
y　bm
z x　（　y　　　；　z
）　？　　 i　　
　　　　u　j　　　？
j
？o ？o
？　？　x
＋
？　x　j
？　　dxdz
？


2
=　0


y　=　y　b　o
z　bm
（22）
？
c bm b ？　u ？ ？
x y （　x　；　z
）　？　　 i　　
　　　　　u　j　　　？
bo
和 ？o　　　　　？y

？
？
2
bm
？ x　j
＋
？
？　x　j　　　？
dydx
=　0

z　=　0

在原则上，这三公式可解出三个隐函数，其中一个是重复的。
1
bm
f　　（y
；　xc
）　=　0　，
f　　（　y
；　xc
）　=　0
（23）
从式（19）xC　处的边界条件给出另一式：
c
bm
zbm
=　zbm
（x　　；　y ）
（24）
最后，式（23）和（24）之联解，将在原则上定出控制断面的位置　xC　，以及那里
的水面高程　ybm　和水面宽　zbm　等。
在二元流中，式（15）、（16）及（17）将分别简化为下列形式，这里采用了　普通的符号：

？？ 1
？　　？　？u　？　2

2
？　？v　？

2
2
？　？u
？v　？　　？
　　　　=　　？　？2？　　　　　？
＋　2？　　　　　？
＋　？　　　　　＋　　　　　？　　？
（25）
？t 2
？？　　？　？x　？
？　？y　？
？　？y
？x　？　　？？


？？ 1　　　？？
？u　？　2
2
？　　　？v　？
？　？u
？v　？　　？
　　　　=　　？　？？　2　　　　　？
＋　？　2　　　　　？
＋　？　　　　　＋　　　　　？　　？
（26）
？t 2
？？？
？x　？
？　　　？y　？
？　？y
？x　？　　？？

？？ ？
xc　　　　　　ybm　　？？
？u　？　2
2
2
？　　　？v　？
？　？u
？v　？　　？
及 　 M　　　　=　　　　？　？　　
？？　2　　　　　？
＋　？　2　　　　　？
＋　？　　　　　＋　　　　　？
？dydx　=　最大
（27）
？t 2
xb　　　　　　ybo
？？？
？x　？
？　　　？y　？
？　？y
？x　？　　？？





18


三、应用水力学第二定律　

前面的分析讨论了流体力学的基础理论。从这里可以见到，虽然那些偏微分
和积分方程实际上是不可能联解的，但由此可知，为了解答任何流动问题，除了
第一类守恒定律之外，存在着第二定律，它是不可缺少的。在某些情形里，例如
在一个水宽超过五倍水深的宽槽里，一个遵从边界约略性的剪力层二元流，就可　采用大大简化了的式子。
现在分析　应　用水力学　中　一个最简　单　的一元明　槽　流问题。　连　续方程的　形　式如　
下：
？Q ？A ？U dA
　　　　　＋　　　　　=　0　，或　A　　 ＋　　　　　　=　0



（28）
？x ？t
？x dt

式中　Q　表示流程　x1　时程　t　的流率，A　横断面积，U　平均流速，运动方程的形式如
下：
2 2
dU ？U ？U U ？y U
　 =　　 ＋　U　　 =　gS　？　g　　 =　？　g　　 bm　　　　？　g　　
（29）
dt ？t ？x
C　2　R
？x C　2　R
？（h　＋　U　2　　/　2　g　） U　2
1　？U
或 　 =　Sb　　？　　 ？　　
（30）
？x C　2　R
g　　？t
？
式中　S　　为水面坡降，　S　=　？　　？ybm　　　=　S
？h
　　　　，　S
=　　？ybo　　　为底坡，h　　为水深，　y 水
？x b ？x
b ？x bm

U　2

　
面高程，　ybm　　=　ybo　　＋　h　，R　　水力半径，C　　希舍糙度系数。 2 这一项相应于纳芙
C　　R
叶一司笃克斯公式中的能量消耗率。
？U
在恒定流情形下，　　 =　0　。对于一个独立系统整体沿着流程　x=0　至　xC　积分
？t

后，这一运动方程就成为表示单位质量的能量的伯努力利方程（见图）：
？0
c
U　2 x　　　　　U　2
h　＋　　　　　　＋
2g

2
=C　2　Rdx　=　？　ybo　（　xc　）　＋　常数
（31）
xc　　　　　U
式中　？　　　 dx　这一项代表总的水头损失，槽底高程，　y　　　只是沿程　x　的函数（见
0　　　　C　2　R bo
式　20），在　xc　处　ybo　（　xc　）　也是常数。




19




























连续介体动力学第二定律要求，h　和　U　2　　/　2g　这样地组合使得总的水头损失为

最大：

2
xc　　　　　U
？0　　　　=C　2　Rdx　=　最大
（32）
式（31）右边既为常数，则在各种　h　和　U　2　　/　2g　的不同组合中，只有一种组合会使
那个代表