黄万里文集-第5章

按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！



最大：

2
xc　　　　　U
？0　　　　=C　2　Rdx　=　最大
（32）
式（31）右边既为常数，则在各种　h　和　U　2　　/　2g　的不同组合中，只有一种组合会使
那个代表特定能量（Specific　energy）、或代表槽底　ybo　　以上势能与动能总和的水头
为最小：
2 2

　　　　 　　 　　　　
h　＋　U =　最小，或　h？　＋　P　＋　U =　最小
（33）
2g ？ 2g

　　
式中　h？　和　P　表示在水深　h　的垂直断面上某一质点的水深和压力水头。
？

符合式（33）的断面就是流程　xC　的控制断面，水深穿过它时从缓流变为射流。
在　xC　处的断面平均流速　U　称为临界流速　UC　　=　UXC　　=　UWXC（断面波速），水深　h　=
hc　　=　hxc　称为临界水深。
这个在给定的流率下最小总水头的原理，又称为最小特定能量原理，普遍地
应用于实用水力学里。这原理最早于　1919　　年首先为　P。　　波丝所证明＇2＇　。如上面所


20


导出的，这原理是流体动力学在一元恒定流情形下的一个特殊推论。同一原理的
另一种表达式是在给定总水头下的最大流率，称做培伦格原理＇3　＇　。查理·耶格于
1949　　年建议称为培伦格原理波丝学说＇4　＇　，并强调说：“在这方面需要一个更高的
原理已甚明显——需要这样的原理，不仅能用于恒定流的特殊情况，还要能进而
阐明非恒流的一些现象（如斯考脱　—　罗舍尔的单独波，某些波种的稳定性，波
脊、防潮、防浪建筑的形式，紊流的现象，冲刷洞和河湾蜿蜒的形成等）”。本文
希望能有所贡献于耶格教授提出的这些要求。1939　年作者在四川省水利局讲授时
称第二定律为控制断面定律。
作者于　1955　　年援用培伦格最大流率原理证明，当井流抽出最大流率时，井
流不透水层以上的地下水深总是供给它的地下静水深度的一半。
或许读者发生这样的疑惑：为什么流体动力学第二定律会得出这样的推论，
流动中能量损失总是趋向于最大，而不是最小，象许多河相学家和沙流水文学家
所设想者。这一绝然相反的分岐或许由于名称的译义不同：一损失的、消散的或
2
xc　　　　　U
耗费的能量（即：　？　　　 dx　项），相对于水流中储存的能量（即　h
＋　U　2　　/　2g　这两
0　　　　C　2　R c
项），或许由于数学法则中微分等于零之作为必需条件同样适用于最大和最小两
极，但不能作为足够的条件。第二定律对于水沙混合流也提供了新的概念和公式，　将于另文论述。


本文经孟昭英教授、林炳南教授、许协庆教授审阅，提出了宝贵的意见，作　者在此谨志谢意。




附录：

用变分法对最大能量消散率定律的证明　



在分析力学里，变分原理曾用来推导汉米尔登最小的动能原理及高斯最小的
约束原理。但是，在这些推导里，对于一个具有质量　m　的动力系统，在给定的荷
载　？　x（t　）　与施加的能率　E&之下，除了动能率　EK　和势能率　ES　　所合成的总储存能率
& &

x；　y　；　z

21



& &
EC　以外，没有考虑到转化为热能的机械能消散率　Ed　　。所储存的势能率　ES　　可以再


& &
分为由于体力产生的势能率　ESb　和由于表面力　FS　的变形能率　ESS　　＇或在流体力学里

由于单位压力　P　所产生的　E&
　　　　（？　pv）　＇。能率　E&　、　E&　、　E&　　和　E&　　是正交坐标
=　　d
SS dt
d K Sb SS
x；　　y；　　z（或任何其他广义坐标），速度　x&；　y&；　z&和时间　t　的函数，而给定的能率　E&则

只是　t　的函数。
能量守恒定律要求
& & & & & & & &
E　=　？　XX　　=　EC　　＋　Ed　　　=　EK　　＋　ESb　　＋　ESS　　＋　Ed
x；　y　；　z
（1）

交分原理提出

？E&=　？E&　＋　？E&　=　？　（E&　＋　E&

＋　E&　　）＋　？E&


（2）
C d K
Sb SS d


设想当任何时刻　t　在实际运动中从质点实占的位置　X（x；　y；　z）离开某一系列
连续位置位差　？X　（？x；？y；？z）　，又设想一系列连续位置位差　X　＋　？X　作为某一变差的

途径，　X&＋　？X&，　E&＋　E&？　，　E&　＋　？E&　，……等相应作为同时发生的这途径上虚拟
C C

速度与各虚拟能变率等。按输入的能率　E&是一个非负值，不论在真实的途径上，
或在任何同时的虚拟的途径上，每一时刻所给定的值都应是相同的。所以变差值
？E&总应为零值：

& & &
？E　=　？EC　　＋　？Ed　　　=　0
（3）


C
从　E　　所产生的储存能率　E&　也只能跟着是一个负非负值。又按热力学第二定律，


d
转化为热的能率　E&　本身总是非负的。所以


& & &
EC　　？　0　，　Ed　　　？　0　，当　E　？　0
（4）

其次，当一个变差的或增添的输入能率　？E&额外地施加于体统只会反应出一



22



& &
个增添的储存能率　？EC　　。同样，第二定律仍要出增添的某个热能转化率　？Ed　　也是


& &
非负的。总之，？EC　　和　？Ed　　必跟着　？E　为正为负同一符号。因为两者只会是相加的，

决不会抵销的。

C
所以，从式（3）　？E&=　0　，可以导出，在沿着事实发生的途径上，位于　E&　、


d
E&　某一点上



？E&　=　？　（E&　＋　E&



＋　E&　　）　=　0




（5）
C K Sh SS


d
？E&　=　0
（6）


这就是实际发生的唯一可能的途径，那里，根据热力学的两个定理，总的储存能

& & &
率　EC　　和化热的能率　Ed　　都是驻值。这样，提供了在实际途径上（草图中　Aa）的　EC


d
和　E&　必然各是一个极值的必要条件。为了提供足够的条件，推论如次：

当　任　何时刻　在　任一同　时　发生的　虚　拟变差　的　路途上　，　例如图　示　　Bb

（　X　＋　？X　；　X　＋　？X　；　t　）　或　Cc　（　X　？　？X　；　X　？　？X　；　t　）　或（3）总是有效的。所以，？EC　　　=　？？Ed　　，


但是　？EC　　和　？Ed　　并不等于零。


















23




图示　E？D？　是一条水平线。因为　E&之值对于各变差途径是共同的；而　ECBD
须是一条曲线，把　E&分成两部分，在不同途径上这两部分各不等值。

e C
E　　线表示某一可能变差的途径，那里速度　X&

Ke
？　0　，动能率　E&　　？　0　，总能


& &
率　E　？　ESe　，运动近于停止，绝大部分输入的能率成为变形的势能率。这是一个


& & &
极限，那里　Ed　　比真实途径的要小得多，而　？EC　　《　0　，　？Ed　　　》　0　，（当　x　　由左向右而


增）。


C
& & & & &
d
Dd　线表示另一反向的极限，那里　X　d